Phương trình logarit cơ bản – Giải và các bài tập tương tự

Đề bài

Giải phương trình logarit sau:

\[
\log_{2}(x+3)-\log_{2}(x-1)=2
\]

Trong đó x là số thực thỏa mãn các điều kiện xác định của logarit.

Đây là dạng phương trình logarit có cùng cơ số và có thể được rút gọn thành một logarit duy nhất bằng công thức:

\[
\log_a A-\log_a B=\log_a\frac{A}{B}
\]

Sau khi đưa về dạng logarit đơn, ta sẽ chuyển sang dạng số mũ để giải.

Bước 1: Xác định miền xác định (điều kiện tồn tại) của các biểu thức logarit.
Bước 2: Sử dụng công thức \(\log_a A-\log_a B=\log_a\frac{A}{B}\) để hợp nhất các logarit.
Bước 3: Đổi sang dạng số mũ: \(\log_a C = k \Leftrightarrow a^{k}=C\).
Bước 4: Giải phương trình đại số thu được.
Bước 5: Kiểm tra nghiệm vừa tìm có thỏa mãn miền xác định hay không.

Bước 1: Miền xác định

\[
\begin{cases}
x+3>0 \\
x-1>0
\end{cases}
\Rightarrow x>-3 \; \text{và}\; x>1 \Longrightarrow x>1
\]

Bước 2: Hợp nhất logarit

\[
\log_{2}(x+3)-\log_{2}(x-1)=\log_{2}\frac{x+3}{\,x-1\,}=2
\]

Bước 3: Đổi sang dạng mũ

\[
2=\log_{2}\frac{x+3}{x-1}\;\Longrightarrow\;2^{2}= \frac{x+3}{x-1}
\]

\[
4=\frac{x+3}{x-1}\Longrightarrow 4(x-1)=x+3
\]

Bước 4: Giải đại số

\[
4x-4=x+3\Longrightarrow 3x=7\Longrightarrow x=\frac{7}{3}
\]

Bước 5: Kiểm tra

Với \(x=\dfrac{7}{3}\approx2.33>1\) nên thỏa mãn miền xác định. Do đó nghiệm duy nhất là:

\(x=\dfrac{7}{3}\)

Phương trình có duy nhất một nghiệm thực vì sau khi chuyển sang dạng số mũ ta thu được một phương trình bậc nhất.
Quan trọng nhất là không bỏ qua bước kiểm tra miền xác định; nếu bỏ qua có thể nhận được nghiệm không hợp lệ.
Công thức hợp nhất logarit giúp giảm số bước tính toán và tránh sai sót khi chuyển đổi.

Bài 1: Giải \(\log_{3}(2x-5)-\log_{3}(x-2)=1\).
Đáp án: \(x=4\).
Bài 2: Giải \(\log_{5}(x+1)+\log_{5}(x-2)=2\).
Đáp án: \(x=4\).
Bài 3: Giải \(\log_{10}(x^2-9)=2\).
Đáp án: \(x= \pm 13\) (với điều kiện \(x>3\) hoặc \(x<-3\) nên nghiệm thực là \(x=13\) và \(x=-13\)).
Bài 4: Giải \(\log_{2}(4x-1)=\log_{2}(x+7)\).
Đáp án: \(x= \dfrac{8}{3}\).
Bài 5: Giải \(\log_{4}(x+5)-\log_{4}(2x-1)=\frac{3}{2}\).
Đáp án: \(x= \dfrac{13}{4}\).