Phương trình logarit cơ bản – Giải, nhận xét và 5 bài tập tương tự

Đề bài

Giải phương trình logarit sau:

log₂(x+3) – log₂(x‑1) = 2

Yêu cầu:

• Tìm nghiệm thực của x.
• Kiểm tra tính hợp lệ của nghiệm (điều kiện xác định).
• Đưa ra nhận xét về cách giải.

Dạng bài toán

Đây là dạng phương trình logarit cơ bản có dạng

log_a(A) – log_a(B) = C, trong đó a>0, a≠1 và A, B > 0.

Ta có thể dùng công thức:

• log_a(A) – log_a(B) = log_a(A/B)
• Giải log_a(K) = C → K = a^C

Phương pháp

1. Kiểm tra điều kiện xác định: x+3>0 và x‑1>0 → x>1.
2. Áp dụng công thức hiệu logarit:

log₂(x+3) – log₂(x‑1) = log₂\(\frac{x+3}{\,x-1\,}\) = 2

3. Chuyển sang dạng mũ:

\(\frac{x+3}{x-1}=2^{2}=4\)

4. Giải phương trình đại số:

x+3 = 4(x‑1) ⇒ x+3 = 4x‑4 ⇒ 3+4 = 4x‑x ⇒ 7 = 3x ⇒ x = 7/3

5. Kiểm tra lại với điều kiện x>1: 7/3 ≈ 2.33 > 1 → nghiệm thỏa mãn.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Điều kiện xác định

Logarit chỉ được định nghĩa khi đối số dương:

• x+3>0 ⇒ x>-3
• x‑1>0 ⇒ x>1

Vì x>1 mạnh hơn x>-3, nên miền xác định là (1, +∞).

Bước 2: Rút gọn biểu thức logarit

Dùng công thức log_aA – log_aB = log_a(A/B):

log₂(x+3) – log₂(x‑1) = log₂\(\dfrac{x+3}{x-1}\).

Bước 3: Chuyển sang dạng mũ

log₂\(\dfrac{x+3}{x-1}\) = 2 ⇔ \(\dfrac{x+3}{x-1}=2^{2}=4\).

Bước 4: Giải phương trình đại số

Nhân chéo: x+3 = 4(x‑1) → x+3 = 4x‑4 → 7 = 3x → x = 7/3.

Bước 5: Kiểm tra nghiệm

Với x = 7/3, ta có x>1, nên nghiệm thỏa mãn.

ax² + bx + c = 0
Phương trình bậc hai


Minh họa công thức