Phương trình logarit cơ bản – Giải, nhận xét và 5 bài tập tương tự

Đề bài

Giải phương trình logarit cơ bản sau:

\(\displaystyle \log_{2}(x+3)-\log_{2}(x-1)=2\)

Đây là dạng phương trình logarit có các biểu thức logarit cùng cơ số và phép trừ. Khi các logarit có cùng cơ số, ta có thể dùng tính chất:

\(\log_{a}A-\log_{a}B=\log_{a}\dfrac{A}{B}\) (với \(A>0,\;B>0,\;a>0,\;a\neq1\)).

Áp dụng tính chất trừ logarit để gộp lại thành một logarit duy nhất.
Chuyển đổi logarit sang dạng mũ: \(\log_{a}C = k \iff a^{k}=C\).
Giải bất phương trình điều kiện xác định (đảm bảo các biểu thức trong logarit > 0).
Kiểm tra nghiệm thu được có thỏa mãn điều kiện hay không.

Bước 1: Gộp logarit

\[
\log_{2}(x+3)-\log_{2}(x-1)=\log_{2}\frac{x+3}{\,x-1\,}=2
\]

Bước 2: Dùng định nghĩa logarit

\[
\frac{x+3}{x-1}=2^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad x+3=4(x-1)
\]

Bước 3: Giải phương trình đại số

\[
x+3=4x-4\;\Longrightarrow\;3+4=4x-x\;\Longrightarrow\;7=3x\;\Longrightarrow\;x=\frac{7}{3}
\]

Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định

Vì nghiệm thỏa mãn mọi điều kiện, nên nghiệm duy nhất của phương trình là

\(x=\dfrac{7}{3}\).

Phương trình logarit có dạng \(\log_{a}A-\log_{a}B=c\) luôn có thể chuyển thành \(\log_{a}\dfrac{A}{B}=c\) rồi sang dạng mũ.
Điều kiện xác định đóng vai trò quyết định việc loại bỏ các nghiệm “giả” sinh ra khi biến đổi.
Trong trường hợp cơ số a > 1, hàm logarit luôn tăng, do đó phương trình \(\log_{a}U=c\) tương đương với \(U=a^{c}\) có duy nhất một nghiệm nếu \(U>0\).

Bài 1: \(\displaystyle \log_{5}(2x-1)-\log_{5}(x+4)=1\)

Đáp án: \(x=9\).
Bài 2: \(\displaystyle \log_{3}(x^{2}-4)-\log_{3}(x-2)=2\)

Đáp án: \(x=5\).
Bài 3: \(\displaystyle \log_{10}(x+7)-\log_{10}(2x-5)=\log_{10}4\)

Đáp án: \(x=3\).
Bài 4: \(\displaystyle \log_{2}\frac{x+1}{x-3}=3\)

Đáp án: \(x=9\).
Bài 5: \(\displaystyle \log_{4}(3x+2)-\log_{4}(x-1)=\frac{1}{2}\)

Đáp án: \(x=\dfrac{5}{2}\).