Bài toán về Công thức cộng xác suất – Toán 11

1. Đề bài

Một hộp chứa 10 quả cầu gồm 6 quả màu đỏ và 4 quả màu xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp. Tính xác suất để trong 2 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu đỏ.

2. Phân tích

Bài toán yêu cầu tính xác suất của biến cố “có ít nhất một quả màu đỏ”. Đây là dạng bài điển hình áp dụng công thức cộng xác suất hoặc sử dụng biến cố đối.

• Không gian mẫu: Việc chọn 2 quả cầu từ 10 quả cầu mà không phân biệt thứ tự.
• Biến cố cần tìm: “Có ít nhất một quả đỏ” bao gồm hai trường hợp: (1 quả đỏ, 1 quả xanh) HOẶC (2 quả đỏ).
• Mối quan hệ: Hai trường hợp này xung khắc với nhau, do đó ta có thể cộng xác suất của chúng lại.

3. Phương pháp giải

Theo chương trình Toán 11 (Kết nối tri thức và Chân trời sáng tạo), ta có hai hướng tiếp cận:

• Cách 1 (Công thức cộng): Gọi $A$ là biến cố “có ít nhất một quả đỏ”. Gọi $A_1$ là biến cố “có đúng 1 quả đỏ, 1 quả xanh” và $A_2$ là biến cố “có đúng 2 quả đỏ”. Vì $A_1$ và $A_2$ xung khắc nên $P(A) = P(A_1) + P(A_2)$.
• Cách 2 (Biến cố đối): Biến cố đối của “có ít nhất một quả đỏ” là “không có quả đỏ nào” (tức là cả 2 quả đều màu xanh). Khi đó $P(A) = 1 – P(\overline{A})$.

4. Giải chi tiết

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu $\Omega$.

Số cách chọn 2 quả cầu từ 10 quả cầu là: $n(\Omega) = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = 45$.

Bước 2: Tính xác suất bằng phương pháp biến cố đối (phương pháp tối ưu cho cụm từ “ít nhất”).

Gọi $A$ là biến cố: “Trong 2 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu đỏ”.

Biến cố đối $\overline{A}$ là: “Cả 2 quả cầu lấy ra đều màu xanh”.

Số cách chọn 2 quả cầu màu xanh từ 4 quả màu xanh là: $n(\overline{A}) = C_4^2 = 6$.

Xác suất của biến cố $\overline{A}$ là: $P(\overline{A}) = \frac{n(\overline{A})}{n(\Omega)} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$.

Bước 3: Áp dụng công thức xác suất biến cố đối:

$P(A) = 1 – P(\overline{A}) = 1 – \frac{2}{15} = \frac{13}{15}$.

Kết luận: Vậy xác suất để lấy ra ít nhất một quả cầu màu đỏ là $\frac{13}{15}$.

Minh họa sơ đồ Venn bằng Tikz:

\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (2cm);
\node at (0,2.2) {$\Omega$};
\draw (-0.5,0) circle (1.2cm);
\node at (-0.7,0) {$\overline{A}$};
\node at (0.8,0) {$A$};
\fill[gray!20] (0,0) circle (2cm);
\fill[white] (-0.5,0) circle (1.2cm);
\end{tikzpicture}

Bài tập tương tự

Câu 1: Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Tính xác suất để chọn được ít nhất một học sinh nữ.

Câu 2: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 2 lần. Tính xác suất để có ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm.

Câu 3: Một hộp có 5 bi xanh và 5 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để có ít nhất một viên bi đỏ.

Câu 4: Cho hai biến cố độc lập $A$ và $B$ với $P(A) = 0,3$ và $P(B) = 0,4$. Tính xác suất để có ít nhất một trong hai biến cố $A$ hoặc $B$ xảy ra.

Câu 5: Một hộp chứa 4 thẻ đánh số 1, 2, 3, 4. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ. Tính xác suất để tổng hai số trên thẻ là một số lẻ.