Bài toán về Tổ hợp – Toán học cơ bản

Phân tích Đề bài

Dữ kiện: Có một lớp học gồm 20 học sinh, trong đó có 10 nam và 10 nữ.
Yêu cầu: Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ lớp học đó. Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn có ít nhất 2 nam và 2 nữ.
Các khái niệm liên quan: Tổ hợp, xác suất

Phương pháp Giải

– Ta cần tính số cách chọn 2 nam và 2 nữ, hoặc 3 nam và 2 nữ, hoặc 2 nam và 3 nữ, hoặc 4 nam và 1 nữ, hoặc 1 nam và 4 nữ, hoặc 5 nam và 0 nữ.
– Sử dụng công thức tổ hợp để tính số cách chọn.
– Lời giải chi tiết từng bước:
+ Số cách chọn 2 nam và 2 nữ: C(10, 2) * C(10, 2)
+ Số cách chọn 3 nam và 2 nữ: C(10, 3) * C(10, 2)
+ Số cách chọn 2 nam và 3 nữ: C(10, 2) * C(10, 3)
+ Số cách chọn 4 nam và 1 nữ: C(10, 4) * C(10, 1)
+ Số cách chọn 1 nam và 4 nữ: C(10, 1) * C(10, 4)
+ Số cách chọn 5 nam và 0 nữ: C(10, 5) * C(10, 0)
– Tổng số cách chọn là tổng của các trường hợp trên.
– Đáp số chính là tổng số cách chọn/ tổng số cách chọn học sinh.

Cách Giải Khác

– Ta cũng có thể giải bài toán bằng cách tính xác suất không chọn ít nhất 2 nam và 2 nữ, sau đó lấy 1 trừ cho xác suất đó để đạt được kết quả cần tìm.

Lưu ý Sai lầm Thường gặp

Nhầm lẫn trong việc áp dụng công thức tổ hợp, không tính đúng số cách chọn từng nhóm nam và nữ.

Bài tập Luyện tập

1. Có 8 quyển sách toán và 6 quyển sách văn trong một giỏ. Chọn ngẫu nhiên 4 quyển sách từ giỏ. Tính xác suất để trong 4 quyển sách đó có ít nhất 2 quyển sách văn.
Lời giải: C(6, 2) * C(8, 2) / C(14, 4)
2. Một túi gồm 7 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ túi. Tính xác suất để có ít nhất 2 viên bi cùng màu.
Lời giải: (C(5, 3) + C(7, 2) * C(5, 1)) / C(12, 3)
3. Một hộp chứa 15 viên bi, trong đó có 8 viên bi trắng và 7 viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp. Tính xác suất để trong 4 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi trắng.
Lời giải: (C(8, 2) * C(7, 2) + C(8, 3) * C(7, 1) + C(8, 4)) / C(15, 4)
4. Một bộ bài Tây gồm 52 lá, chia đều cho 4 người chơi. Tính xác suất để mỗi người có ít nhất một quân bài A.
Lời giải: 1 – (C(48, 13) / C(52, 13))^4
5. Trong một lớp học gồm 30 học sinh, cần chọn ngẫu nhiên 7 học sinh để tham gia cuộc thi Toán học. Tính xác suất để trong 7 học sinh được chọn có ít nhất 3 nam.
Lời giải: (C(20, 4) * C(10, 3) + C(20, 3) * C(10, 4) + C(20, 5) * C(10, 2) + C(20, 6) * C(10, 1) + C(20, 7) * C(10, 0)) / C(30, 7)